EQUAÇÃO DE UMA RETA
Toda reta está associada a uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada equação geral da reta, onde a, b e c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0 e (x,y) representa um ponto genérico da reta.
Podemos determinar a equação de uma reta a partir de algumas situações
Dois pontos - a equação da reta que passa pelos pontos ( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) é dado por:
\(\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y-y_2}{x-x_2}\) ou \(y-y_1 =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
Um ponto e o coeficiente angular - a equação da reta, que passa por um ponto ( x1 , y1 ) e tem coeficiente angular m, é dada por:
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
EQUAÇÃO y = ax + b
Dado um ponto P = (x,y) no plano, tem-se y = ax + b se, e somente se, P pertence à reta r que tem inclinação (ou coeficiente angular) a e corta o eixo OY no ponto (0,b), de ordenada b. Observa-se que esse tipo de equação só pode ser usada para representar retas que não são paralelas ao eixo OY, isto é, retas não-vesticais.
EXEMPLO 1
Dada a equação r: y = ax + b, onde a = 1 e b = 5.
r: y = ax + b
a = 1 e b = 5 ⇒ y = x + 5
Temos que o coeficiente angular da a = 1 é 45° e a reta corta o eixo OY no ponto (0,5).
EXEMPLO 2
Dada a equação r: y = ax + b, onde a = 1 e b = 1.
r: y = ax + b
a = 1 e b = 1 ⇒ y = x + 1
Temos que o coeficiente angular da a = 1 é 45° e a reta corta o eixo OY no ponto (0,1).
Observa-se que \(\frac{Δ_y}{Δ_x}\) determina o valor de a e a relação da tg α = \(\frac{Δ_y}{Δ_x}\) ⇒ α = 45°
Coeficiente angular das retas r: y = ax + b
Quando a > 0, temos a reta crescente e seu coeficiente angular 0º < α < 90º.
r: y = ax + b
a > 0 ⇒ reta crescente
Quando a < 0, temos a reta decrescente e seu coeficiente angular 90º < α < 180º.
r: y = ax + b
a < 0 ⇒ reta decrescente
Ordenada b
b > 0 a reta corta o eixo OY positivo
r: y = ax + b
b > 0
b < 0 a reta corta o eixo OY negativo
r: y = ax + b
b < 0
b = 0 a reta corta o eixo OY na horigem
r: y = ax + b
b = 0
EQUAÇÃO ax + by = c
Sempre que escreve-se a equação ax + by = c, supoem que a² + b² ≠ 0 ( isto é, a e b não são simultaneamente nulos), mesmo que isto não seja dito explicitamente.
O conjunto dos pontos P = (x,y) cujas coordenadas satisfazem a equação ax + by = c é uma reta. Com efeito, esta equação equivale a
\(\ y = \frac{-a}{b}x + \frac{c}{b} \)
quando b ≠ 0 e a x = \(\frac{c}{a}\) quando b = 0.
EXEMPLO 1
Dada a equação r: ax + by = c, onde a = 1 e b = 1 e c =5.
r: ax + by = c
a = 1 e b = 1 e c =5 ⇒ x + y = 5
EXEMPLO 2
Dada a equação r: ax + by = c, onde a = -4 e b = 6 e c = 12.
r: ax + by = c
a = -4 e b = 6 e c = 12 ⇒ -2x + 3y = 6
Observe que os coeficientes da equação foram divididos 2 gerando a reta r: -2x + 3y = 6 que é equivalente a reta r: -4x + 6y = 12.
Retas concorrentes
Possue apenas um ponto em comum.
r: ax + by = c
Retas paralelas
Não possue pontos em comum.
r: ax + by = c
Retas coincidentes
Possue infinitos pontos em comum.
r: ax + by = c
